Desde cedo aprendemos que retas paralelas são aquelas que não se encontram nunca. Bom, nunca é um exagero aqui – ao contrário do medo que os filósofos e matemáticos gregos alimentavam pelo infinito, com sua matemática baseada quase unicamente em geometria, a introdução da Análise Matemática moderna, logo depois da invenção do Cálculo Diferencial e Integral de Newton e Leibniz, fez com que esta abstração não numérica ganhasse destaque para resolver problemas bem terrenos.
Alguns de nós, mais tarde, descobrimos com deslumbre que sim, retas paralelas se encontram – no infinito, aliás. Bom, onde é o infinito? Só posso adiantar que o infinito não é um número, e sim uma abstração. Se tivermos certa quantidade sendo analisada em determinado problema, podemos assumir grosseiramente que o infinito é aquilo que é muito maior que qualquer destas quantidades. Isto nos permite calcular limites e obter resultados analíticos.
O meu interesse aqui é fazer uma demonstração geométrica não formal para provar que sim, retas paralelas encontram-se no infinito. Mas façamos pelo caminho inverso.
Comecemos com duas retas concorrentes, de equações explícitas f(x) e g(x). Pra quem não sabe, estas equações são descritas da seguinte forma:
Estas retas são necessariamente simétricas em relação ao eixo x, quer dizer, f(x) cruza o eixo y em y1 e g(x) cruza o eixo y em –y1. Elas também sempre se cruzam sobre eixo x, no ponto x1.
Sim, estas retas são concorrentes. Como podemos fazer para torna-las paralelas? Bom, simples: é só fazer x1 tender a infinito. Desta forma, podemos dizer que as retas paralelas são na verdade retas concorrentes que se cruzam no infinito. Isso pode ser facilmente feito progressivamente, para vários valores de x1, como fiz no gráfico abaixo:
Neste gráfico, eu fiz y1 = 10 fixo, e fiz x1 ir aumentando até o infinito (i.e., a um número significativamente grande). As retas marrons se cruzam em x = 10. As azuis em x = 50. As laranjas em x = 200. As verdes em x = 800. E finalmente as vermelhas em x = infinito.
O que eu fiz aqui é basicamente um processo de limite: fiz o ponto x1 tender a infinito, verificando a inclinação das retas no processo. Esta inclinação decresce na medida em que fazemos x1 tender a infinito, como visto na figura.
Podemos demonstrar que as retas paralelas se tocam no infinito de forma mais formal – podemos encontrar a equação que determina a inclinação de uma reta genérica do tipo abaixo e verificar o que acontece quando x1 tende a infinito. Seja a reta y(x):
Sua inclinação (m) é dada pela tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x, ou seja:
onde alfa é o ângulo que a reta faz com o eixo x e dy/dx é a derivada da equação (ambos significam a mesma coisa – a derivada é a taxa de variação da reta, que neste caso é uma constante: m = tan α).
Quando uma reta é paralela ao eixo x, i.e., é paralela a outra reta que também é paralela ao eixo x, de equação similar, mas simétrica a este eixo (como f(x) e g(x) são), sua tangente tende a zero, pois o ângulo com o eixo passa a ser 180 graus (ou zero graus). Tangente de 180 graus é zero – lembre-se o círculo trigonométrico!
Desta forma, quando x1 tender a infinito, m tenderá a zero. Formalmente:
independente do valor de a. Isto porque qualquer número dividido por um numero extremamente grande retorna um resultado muito pequeno. Se este número for tão grande quanto se queira, a divisão retorna um resultado nulo – zero.
Sabemos que o ângulo que produz uma tangente zero é 180 (ou zero, ou um múltiplo par de 180 graus). Ou seja, quando o ponto de intersecção x1 tende a infinito, as retas tendem a se tornarem paralelas ao eixo x (e uma a outra).
Portanto, as retas paralelas são aquelas que se encontram no infinito.
"é mais fácil acreditar nisso."
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